791 replies to this topic

[Dreamer]

Rozpiszę to jutro, albo kiedyś, na razie jestem pomysłem zbyt nakręcony, aby liczyć.

[Dreamer]

Tak sobie myślałem o tym wzorze na sumę, żeby nie musieć liczyć rekurencyjnie i doszedłem do ciekawego ciągu:
Dla n pierwiastków:

W tej sumie bo to wzór na rekurencyjną sumę. Da się policzyć ją bez rekurencji mianowicie:

Zauważmy, że wszystkie elementy sumy będą zawierać

a to się równa kombinacje (yz) ^{n-1} +z ^{n-1}
Czyli będzie to liczba powtórzeń równa liczbie pierwiastków, roboczo nazwę ją
następny element sumy pozbawiony permutacja
to

 

 

Zauważmy, że wszystkie następne elementy będą zawierać tę część

Powtarzamy procedure aż do ostatniego elementu czyli:

Uzyskujemy ogólny wzór na sumę:


gdzie:
to pierwiastek aktualny
to pierwiastki wcześniejsze niż pn

 

 

Tak dla przykładu dla czterech pierwiastków (abcd) i n równego 4.

Tu był błąd bo pominąłem, pierwiastek razy permutacja, ale dalej idea jest dobra

[Dreamer]

Permutacja (abcd)^4=

 

Edited by Dreamer, 20 June 2017 - 07:55.

[Dreamer]

Niestety jeden przykład to za mało do zobaczenia wzoru. Trzeba liczyć dalej.

[Dreamer]

czyli po wyliczeniach:






Popatrzcie To wychodzi idealna zależność, czyli:


=



Co się równa:


Tutaj trick, co zauważyłem wszystkie pozostałe elementy, przed nawiasami w sumie dają
permutację(a,b,c) ^{3} tylko są odpowiednio podzielone, mianowicie




Znaczy się, takie wyrazy , które zawierają elementy podane w kombinacji.
Czyli

Edited by Dreamer, 21 June 2017 - 06:01.

[Dreamer]

Może nie jest to to co sobie założyłem, ale w efekcie końcowym i tak jestem zadowolony. Otrzymaliśmy postać znacznie prostszą niż pierwotna.

[Dreamer]

Czyli wzór na

=

 

kombinacja(a,b )^{n-1}

Przy czym za permutację podstawiamy wzór, aż do uzyskania pierwszej potęgi.
Suma kombinacji dla danej potęgi jest permutacją, dla tej potęgi.
Tu chodzi jedynie o elementy z permutacji, które zawierają, nie powtarzające się elementy kombinacji.

Edited by Dreamer, 21 June 2017 - 13:43.

[Dreamer]

Czyli. Przykładowo dla n od a =3 i n od b =2

 

 

 

 

 

Edited by Dreamer, 25 June 2017 - 08:37.

[Dreamer]

Przy okazji zauważyłem, że w pierwszych obliczeniach pominąłem minus.

[Dreamer]

Coś pięknego. Popatrzcie mamy formułę na rekurencyjny ciąg 

x^n/(x+a)(x+b )...(x+z)

Gdzie kolejne elementy ciągu to n+1. Rozpiszę to później. 

Edited by Dreamer, 25 June 2017 - 19:01.

[Dreamer]

Ok. Nie ma na co czekać. Zacznę powoli od \frac{x ^{n} }{(x+a)} Stopniowo dodam kolejne pierwiastki. Zobaczymy ile dam radę tyle dzisiaj policzę. Formuła jest napisana teraz zostało tylko liczenie.

 

Dla n =1



Dla n=2



Dla

Dalej nie ma po co liczyć, jasno widać wzór.

Edited by Dreamer, 26 June 2017 - 11:16.

[Dreamer]

Pomyłka, nic nowego to nie wnosi i tak dla każdego następnego elementu będziemy musieli liczyć permutację dla n+1 Chociaż napisałem wcześniej o rekurencji w permutacji. Trzeba by to sprawdzić.

[Simik]

A może prowadzi Pan swego rodzaju prywatne korepetycje z zakresu wielomianów?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___________________________

 Polecam moją księgowa Kraków

Edited by Simik, 27 June 2017 - 07:33.

[Dreamer]

Jeśli są jakieś pytania to chętnie odpowiem, pomogę.

Tylko zajmowanie się matematyka na okrągło odpada, zdrowie nie pozwala.

[Dreamer]

Ten rekurencyjny ciąg, coś pięknego. Teraz to nawet schemat Hornera się kłania.

[Dreamer]

Przypomnę tylko:

Dla n pierwiastków

Permutacja(a,b...z)^n=

 

Jak rekurencyjnie to zaczynamy od pierwszej potęgi i jest banalnie prosto. Nie wiem czy trzeba tłumaczyć, ale ok.

Mnożymy kolejno permutacje  przez a,b,..z jak widać na wzorze, a dalej mamy sume kolejnych elementów, każda kolejna suma to permutacja dla n+1, dla większej liczby pierwiastków, aż do a...z

Edited by Dreamer, 26 June 2017 - 11:45.

[Dreamer]

Czyli:


Permutacja dla:





dla





Czyli:







Trochę mały przykład, ale od razu widać piękny wzór

[Dreamer]

Aj wszystko mi się poplątało, najpierw miałem policzyć to stwierdzić, że dla dwumianu działa, a dalej są problemy. Później miałem policzyć ten wzór:
Czyli wzór na

=













Jest on następstwem tego wywodu i kontynuacją wzoru. Taką miałem wizję tego. Wybiegłem za bardzo w przyszłość, ale trudno. Plan jest po to, żeby się go trzymać, szkoda.

[Dreamer]

A co mi tam. Może taki spoiler co planuje. Na razie ciągle wprowadzamy wzór na jeden pierwiastek na raz. A to jest sumą permutacji n-1. Więc mamy osobno wzory dla każdej ilości pierwiastków. Trochę to zagmatwane brzmi, ale idea jest prosta i wykonała.

[Dreamer]

Narobiłem wam smaka, może tak zostawię z miesiąc, albo dłużej. Lata, to plan na lata, więc cierpliwości.